Le crible d'Eratosthène.

 

 

Les nombres premiers.

 

12 n'est pas un nombre premier car il peut s'écrire sous la forme d'un produit de deux autres nombres entiers différents. 12 = 2 X 6 = 3 X4

Pour certains nombres entiers cela n'est pas possible. Ce sont les nombres premiers :

 

2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; ……

 

En effet 7 ne peut s'écrire que 1x7 ou 7x1. De même : 19=1x19=19x1.

 

Vous pouvez vous amuser à continuer la liste des nombres premiers jusqu'à 100 ; 1000 ou 10 000. Mais quel travail ! Et est- on sûr que 2 000 999 est premier ou non ?

Eratosthène imagina une méthode simple qui consiste à trier, "passer au crible", tous les nombres entiers en se servant d'un tableau.

 

Remarquons que 1 n'est pas un nombre premier 1 = 1x1 c'est bien un produit mais pas de deux entiers différents.

 

La définition habituelle des nombres premiers est un peu différente de celle- ci :

 

On appelle nombre premier tout nombre entier qui a deux diviseurs entiers 1 et lui- même.

 

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LE CRIBLE .

OU COMMENT TROUVER TOUS LES NOMBRES PREMIERS.

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Pour établir la liste des nombres premiers jusqu'à 100, remarquons qu'il suffit de procéder par élimination.

1- On garde 2 qui est premier. Puis on barre tous les multiples de 2 qui se trouvent dans la liste.

2- On s'aperçoit que beaucoup de nombres sont éliminés. On recommence alors avec les multiples de 3 puis ceux de 5 ( pour les multiples de 4, ce n'est pas la peine, ils ont déjà été barrés car ce sont des multiples de 2 ! )….

3- Ce ne sera pas nécessaire d'aller au delà de 7.
En effet si nous cherchons les multiples de 11 qui restent dans le tableau, ceux-ci doivent s'écrire 11x n avec le nombre n qui doit être inférieur à 11 car 11x11 = 121. S'il y en avait un, le nombre n devrait être inférieur à 11 et il aurait été trouvé avant.

4- On barre donc dans le tableau les multiples de 2, de 3, de 5, puis de 7.
Il restera alors les nombres premiers inférieurs à 100.
Cela nous donne donc le tableau avec les nombres premiers en rouge :

 

Cette méthode a ses limites, elle ne nous permet pas de savoir rapidement si 1999 est un nombre premier… et pour 19 999 , vous pouvez essayer de chercher ! Avec votre calculatrice bien sûr !

 

Un autre problème est de savoir fabriquer un nombre premier :

2x3x5x7 +1 = 211 est- il premier ? et 2x3x5x7x11x13+1= ?

Bon courage et pensez à utiliser votre calculatrice… pauvres ancêtres qui devaient faire tous ces calculs à la main !

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